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# Modulo arithmetic problem

Let a,b,c be pairwise-coprime integers. I need to find the smallest integer t satisfying

at+b=0 (mod c)

Any ideas? I keep thinking something along the lines of the Euclidean algorithm except the modulo complicates things.

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for small numbers it's not too difficult to find them exhaustively
``````A	B	C	T
--------------------------------------------
2	3	5	6
2	3	7	2
2	3	11	4
2	3	13	5
2	3	17	7
2	3	19	8
2	5	3	2
2	5	7	8
2	5	9	2
2	5	11	3
2	5	13	4
2	5	17	6
2	5	19	7
2	5	21	8
2	7	3	4
2	7	5	4
2	7	9	10
2	7	11	2
2	7	13	3
2	7	15	4
2	7	17	5
2	7	19	6
2	9	5	3
2	9	7	6
2	9	11	12
2	9	13	2
2	9	17	4
2	9	19	5
2	11	3	2
2	11	5	2
2	11	7	5
2	11	9	8
2	11	13	14
2	11	15	2
2	11	17	3
2	11	19	4
2	11	21	5
2	13	3	4
2	13	5	6
2	13	7	4
2	13	9	7
2	13	11	10
2	13	15	16
2	13	17	2
2	13	19	3
2	13	21	4
2	15	7	3
2	15	11	9
2	15	13	12
2	15	17	18
2	15	19	2
2	17	3	2
2	17	5	4
2	17	7	2
2	17	9	5
2	17	11	8
2	17	13	11
2	17	15	14
2	17	19	20
2	17	21	2
2	19	3	4
2	19	5	3
2	19	7	8
2	19	9	4
2	19	11	7
2	19	13	10
2	19	15	13
2	19	17	16
2	21	5	2
2	21	11	6
2	21	13	9
2	21	17	15
2	21	19	18
3	2	5	6
3	2	7	4
3	2	11	3
3	2	13	8
3	2	17	5
3	2	19	12
3	4	5	2
3	4	7	8
3	4	11	6
3	4	13	3
3	4	17	10
3	4	19	5
3	5	2	3
3	5	4	5
3	5	7	3
3	5	8	9
3	5	11	2
3	5	13	7
3	5	14	3
3	5	16	9
3	5	17	4
3	5	19	11
3	7	2	3
3	7	4	3
3	7	5	6
3	7	8	3
3	7	10	11
3	7	11	5
3	7	13	2
3	7	16	3
3	7	17	9
3	7	19	4
3	7	20	11
3	8	5	4
3	8	7	2
3	8	11	12
3	8	13	6
3	8	17	3
3	8	19	10
3	10	7	6
3	10	11	4
3	10	13	14
3	10	17	8
3	10	19	3
3	11	2	3
3	11	4	3
3	11	5	3
3	11	7	8
3	11	8	7
3	11	10	3
3	11	13	5
3	11	14	15
3	11	16	7
3	11	17	2
3	11	19	9
3	11	20	3
3	13	2	3
3	13	4	5
3	13	5	4
3	13	7	5
3	13	8	9
3	13	10	9
3	13	11	3
3	13	14	5
3	13	16	17
3	13	17	7
3	13	19	2
3	13	20	9
3	14	5	2
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3	14	13	4
3	14	17	18
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3	16	5	3
3	16	7	4
3	16	11	2
3	16	13	12
3	16	17	6
3	16	19	20
3	17	2	3
3	17	4	5
3	17	5	6
3	17	7	6
3	17	8	5
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3	17	20	21
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3	19	7	3
3	19	8	7
3	19	10	7
3	19	11	12
3	19	13	11
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3	19	16	15
3	19	17	5
3	19	20	7
3	20	7	5
3	20	11	8
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3	20	17	16
3	20	19	6
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4	5	21	4
4	7	3	2
4	7	5	2
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4	7	11	12
4	7	13	8
4	7	15	2
4	7	17	11
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4	11	17	10
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4	13	9	8
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4	13	17	18
4	13	19	11
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4	15	19	20
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4	17	15	7
4	17	19	10
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4	19	7	4
4	19	9	2
4	19	11	9
4	19	13	5
4	19	15	14
4	19	17	8
4	19	21	11
4	21	5	6
4	21	11	3
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5	2	19	11
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5	3	4	5
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5	3	13	2
5	3	14	5
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5	3	19	7
5	4	3	4
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5	4	9	10
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5	4	19	3
5	4	21	16
5	6	7	3
5	6	11	12
5	6	13	4
5	6	17	9
5	6	19	14
5	7	2	3
5	7	3	4
5	7	4	5
5	7	6	7
5	7	8	5
5	7	9	4
5	7	11	3
5	7	12	13
5	7	13	9
5	7	16	5
5	7	17	2
5	7	18	13
5	7	19	10
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5	8	7	4
5	8	9	2
5	8	11	5
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5	8	19	6
5	8	21	11
5	9	2	3
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5	9	7	8
5	9	8	3
5	9	11	7
5	9	13	6
5	9	14	15
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5	9	17	5
5	9	19	2
5	11	2	3
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5	11	7	2
5	11	8	9
5	11	9	5
5	11	12	5
5	11	13	3
5	11	14	9
5	11	16	17
5	11	17	8
5	11	18	5
5	11	19	13
5	11	21	2
5	12	7	6
5	12	11	2
5	12	13	8
5	12	17	18
5	12	19	9
5	13	2	3
5	13	3	4
5	13	4	3
5	13	6	7
5	13	7	3
5	13	8	7
5	13	9	10
5	13	11	4
5	13	12	7
5	13	14	3
5	13	16	7
5	13	17	11
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5	14	3	2
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5	14	19	20
5	16	3	4
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5	16	19	12
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5	19	2	3
5	19	3	4
5	19	4	5
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5	19	7	6
5	19	8	9
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5	19	11	5
5	19	12	13
5	19	13	4
5	19	14	13
5	19	16	9
5	19	17	3
5	19	18	7
5	19	21	13
5	21	2	3
5	21	4	3
5	21	8	7
5	21	11	9
5	21	13	14
5	21	16	15
5	21	17	6
5	21	19	11
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6	5	13	10
6	5	17	2
6	5	19	15
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6	7	11	8
6	7	13	14
6	7	17	13
6	7	19	2
6	11	5	4
6	11	7	4
6	11	13	9
6	11	17	18
6	11	19	14
6	13	5	2
6	13	7	6
6	13	11	7
6	13	17	12
6	13	19	20
6	17	5	3
6	17	7	3
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6	17	13	8
6	17	19	13
6	19	5	6
6	19	7	5
6	19	11	6
6	19	13	12
6	19	17	11
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7	2	13	9
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7	3	5	6
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7	5	8	5
7	5	9	7
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7	5	13	3
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7	11	13	4
7	11	15	7
7	11	16	3
7	11	17	13
7	11	18	19
7	11	19	12
7	11	20	7
7	12	5	4
7	12	11	3
7	12	13	2
7	12	17	8
7	12	19	20
7	13	2	3
7	13	3	2
7	13	4	5
7	13	5	6
7	13	6	5
7	13	8	5
7	13	9	2
7	13	10	11
7	13	11	6
7	13	12	5
7	13	15	11
7	13	16	5
7	13	17	3
7	13	18	11
7	13	19	9
7	13	20	21
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7	15	4	3
7	15	8	7
7	15	11	12
7	15	13	9
7	15	16	7
7	15	17	10
7	15	19	6
7	16	3	2
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7	20	19	8
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8	3	13	11
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8	5	7	2
8	5	9	5
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8	5	13	14
8	5	17	10
8	5	19	16
8	5	21	2
8	7	3	4
8	7	5	6
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8	7	13	4
8	7	15	16
8	7	17	14
8	7	19	11
8	9	5	2
8	9	7	5
8	9	11	3
8	9	13	7
8	9	17	18
8	9	19	6
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8	11	9	2
8	11	13	10
8	11	15	8
8	11	17	5
8	11	19	20
8	11	21	17
8	13	3	4
8	13	5	4
8	13	7	8
8	13	9	4
8	13	11	8
8	13	15	4
8	13	17	9
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8	17	13	6
8	17	15	11
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8	19	13	9
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8	21	5	3
8	21	11	7
8	21	13	12
8	21	17	8
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9	2	7	6
9	2	11	12
9	2	13	7
9	2	17	13
9	2	19	4
9	4	5	4
9	4	7	5
9	4	11	2
9	4	13	14
9	4	17	9
9	4	19	8
9	5	2	3
9	5	4	3
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9	5	8	3
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9	5	16	3
9	5	17	7
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17	16	19	8
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17	19	11	6
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17	19	14	3
17	19	15	13
17	19	16	13
17	19	18	19
17	19	20	13
17	19	21	10
17	20	3	2
17	20	7	5
17	20	9	2
17	20	11	4
17	20	13	8
17	20	19	10
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17	21	8	3
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17	21	20	7
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18	7	19	7
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18	11	17	6
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19	5	3	4
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19	5	13	10
19	5	14	13
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19	5	17	6
19	5	18	13
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19	6	5	6
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19	7	12	11
19	7	13	14
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19	8	11	10
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19	11	7	2
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19	11	14	9
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19	11	16	7
19	11	17	3
19	11	18	7
19	11	20	11
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19	12	5	2
19	12	7	6
19	12	11	4
19	12	13	11
19	12	17	11
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19	13	3	2
19	13	4	5
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19	13	7	3
19	13	8	9
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19	13	12	5
19	13	14	3
19	13	15	8
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19	13	17	2
19	13	18	5
19	13	20	13
19	13	21	17
19	14	3	4
19	14	5	4
19	14	9	4
19	14	11	12
19	14	13	2
19	14	15	4
19	14	17	10
19	15	2	3
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19	15	7	4
19	15	8	3
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19	15	13	4
19	15	14	11
19	15	16	11
19	15	17	18
19	16	3	2
19	16	5	6
19	16	7	8
19	16	9	2
19	16	11	9
19	16	13	6
19	16	15	11
19	16	17	9
19	16	21	8
19	17	2	3
19	17	3	4
19	17	4	5
19	17	5	2
19	17	6	7
19	17	7	5
19	17	8	5
19	17	9	10
19	17	10	7
19	17	11	2
19	17	12	13
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19	17	14	5
19	17	15	7
19	17	16	5
19	17	18	19
19	17	20	17
19	17	21	19
19	18	5	3
19	18	7	2
19	18	11	6
19	18	13	10
19	18	17	8
19	20	3	4
19	20	7	3
19	20	9	7
19	20	11	3
19	20	13	14
19	20	17	7
19	20	21	10
19	21	2	3
19	21	4	5
19	21	5	6
19	21	8	9
19	21	10	11
19	21	11	7
19	21	13	3
19	21	16	9
19	21	17	15
19	21	20	21
20	3	7	3
20	3	11	7
20	3	13	7
20	3	17	16
20	3	19	16
20	7	3	4
20	7	9	10
20	7	11	9
20	7	13	12
20	7	17	9
20	7	19	12
20	9	7	2
20	9	11	10
20	9	13	8
20	9	17	14
20	9	19	10
20	11	3	2
20	11	7	4
20	11	9	8
20	11	13	4
20	11	17	2
20	11	19	8
20	11	21	11
20	13	3	4
20	13	7	6
20	13	9	7
20	13	11	12
20	13	17	7
20	13	19	6
20	13	21	13
20	17	3	2
20	17	7	3
20	17	9	5
20	17	11	3
20	17	13	5
20	17	19	2
20	17	21	17
20	19	3	4
20	19	7	5
20	19	9	4
20	19	11	4
20	19	13	14
20	19	17	5
20	19	21	19
20	21	11	5
20	21	13	10
20	21	17	10
20	21	19	17
21	2	5	3
21	2	11	2
21	2	13	3
21	2	17	8
21	2	19	18
21	4	5	6
21	4	11	4
21	4	13	6
21	4	17	16
21	4	19	17
21	5	2	3
21	5	4	3
21	5	8	7
21	5	11	5
21	5	13	14
21	5	16	15
21	5	17	3
21	5	19	7
21	8	5	2
21	8	11	8
21	8	13	12
21	8	17	15
21	8	19	15
21	10	11	10
21	10	13	2
21	10	17	6
21	10	19	14
21	11	2	3
21	11	4	5
21	11	5	4
21	11	8	9
21	11	10	9
21	11	13	10
21	11	16	17
21	11	17	10
21	11	19	4
21	11	20	9
21	13	2	3
21	13	4	3
21	13	5	2
21	13	8	7
21	13	10	7
21	13	11	2
21	13	16	7
21	13	17	18
21	13	19	3
21	13	20	7
21	16	5	4
21	16	11	5
21	16	13	11
21	16	17	13
21	16	19	11
21	17	2	3
21	17	4	3
21	17	5	3
21	17	8	3
21	17	10	3
21	17	11	6
21	17	13	6
21	17	16	3
21	17	19	20
21	17	20	3
21	19	2	3
21	19	4	5
21	19	5	6
21	19	8	9
21	19	10	11
21	19	11	8
21	19	13	9
21	19	16	9
21	19	17	8
21	19	20	21
21	20	11	9
21	20	13	4
21	20	17	12
21	20	19	9
``````
0

Author Commented:
Indeed. Unfortunately though, these numbers could be very large so I require a deterministic approach.
0

Author Commented:
Ahh! It just occurred to me. There exists an s such that

at+b = sc

or

at - sc = -b

which is a standard linear Diophantine equation:
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation.html
0

Commented:
I just did it. (wasted my time?, gah)

A, B & C relatively prime

Find

Ax + B = 0  mod C

Using Euclids algorithm since A & C coprime then there is m & n st

mA + nC = 1

Multiplying both sides by B

(mB)A + (nB)C = B

(-mB)A + B = (nB)C

(-mB)A + B = 0  mod C

(-mB mod C)A + B = 0  mod C

eg

5x + 7 = 0 mod 9

By Euclid

2*5  - 9 = 1

14* 5 - 63  = 7

(-14)* 5 + 7  = 0  mod 9

(-14 mod 9)* 5 + 7  = 0  mod 9

4*5 + 7 = 0 mod 9

x = 4
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I solved it.
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Gwynfor, I only just saw your solution now by chance. My points-bag is empty but thank you for the effort.
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Tackle projects and never again get stuck behind a technical roadblock.